Exam

Aritmeetiliste vektorite vektorruum.

Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis.

Diskreetne Markovi protsess, stohhastiline maatriks ja Markovi ahel

Defineerige ruutmaatriks, tema pea- ja kõrvaldiagonaal

Defineerige diagonaalmaatriks

Defineerige kahe maatriksi korrutis. Millisel tingimusel on võimalik kaht maatriksit korrutada?

Defineerige lineaarse võrrandisüsteemi üldlahend, erilahend ja vabad tundmatud

Defineerige maatriksi miinorid

Defineerige hüpertasand ja tema normaalvektor.

Defineerige vektori norm

Geomeetrilised vektorid.

Imaginaararv. Puhtimaginaararv. Kaaskompleksarv

Kuidas on aritmeetiliste vektorite seas defineeritud kahe vektori summa?

Kuidas on defineeritud kahe maatriksi liitmine? Kuidas maatriksi ja skalaari korrutis?

Kuidas on defineeritud kujutis ja originaal?

Kuidas saab ortogonaalmaatrikseid kasutada arvutigraafikas?

Kahe vektori summa

Kas ortogonaalse vektorite süsteemi vektorid saavad olla lineaarselt sõltuvad?

Kirjeldage võrrandisüsteemi lahendamist determinantide meetodiga.

Kirjeldage lineaarse diferentsvõrrandi lahendamist

Kirjeldage Gaussi meetodi algoritmi lineaarse võrrandisüsteemi lahendamisel

Kirjeldage lineaarse diferentsiaalvõrrandisüsteemi Cauchy ülesande lahendamist maatriksi omaväärtusete ja -vektorite abil.

Laplace’i arendusteoreem

Loetlege maatriksi transponeerimise reeglid. Tõestage omal valikul üks loetletud omadustest.

Loetlege maatrikskorrutise omadused.

Loetlege determinantide omadused.

Lineaarse teisenduse omaväärtused ja omavektorid.

Mida nimetatakse maatriksiks?

Mida nimetatakse nullmaatriksiks? Mida antud maatriksi vastandmaatriksiks?

Mida nimetatakse lineaarse võrrandi lahendiks?

Mida nimetatakse lineaarse võrrandisüsteemi maatriksiks, mida laiendatud maatriksiks?

Mida nimetatakse n-järku substitutsiooniks?

Mida nimetatakse maatriksi astakuks?

Mida nimetatakse antud maatriksi pöördmaatriksiks?

Mida nimetatakse lineaarse planeerimise ülesandes sihifunktsiooniks?

Mida nimetatakse kujutuseks ühest vektorruumist teise?

Mida nimetatakse maatriksi omaväärtusteks ja omavektoriteks

Maatriksi karakteristlik võrrand ja karakteristlik polünoom

Mis on maatriksi spekter?

Millist maatriksit nimetatakse ühikmaatriksiks.Millise tulemuse saame, kui mingit maatriksit korrutada sobivat järku ühikmaatriksiga?

Millist maatriksit nimetatakse antud maatriksi transponeeritud maatriksiks?

Millist maatriksit nimetatakse sümmeetriliseks, millist kaldsümmeetriliseks?

Millist võrrandit nimetatakse lineaarseks?

Millist maatriksit nimetatakse regulaarseks, millist singulaarseks?

Millist ruumi nimetatakse normeeritud ruumiks?

Millist vektorit nimetatakse ühikvektoriks?

Millist baasi vektorruumis nimetatakse ortonormeeritud baasiks?

Millist lineaarset kujutust nimetatakse ortogonaalteisenduseks?

Milliseid operatsioone nimetatakse maatriksi ridade elementaarteisendusteks?

Milliseid objekte nimetatakse maatriksi rea- mlliseid veeruvektorites?

Milliseid lineaarseid võrrandisüsteeme nimetatakse samaväärseteks?

Milliseid vektoreid nimetatakse ortogonaalseteks?

Milliste teisendused (lin. võrrandisüsteemi võrranditega) annavad esialgsega samaväärse võrrandisüsteemi?

Millistel tingimustel võib nimetada geomeetrilisi vektoreid kollineaarseteks?

Millistel tingimustel on lineaarsel võrrandisüsteemil ühene lahend?

Millisel tingimusel moodustavad kaks naturaalarvu inversiooni ?

Millisel tingimusel on lineaarne võrrandisüsteem lahenduv?

Millisel tingimusel on võimalik leida maatriksi pöördmaatriks?

Milles seisneb Cauchy ülesanne lineaarse diferentsiaalvõrrandite süsteemi korral

Millal saab kasutada lineaarse planeerimisülesande lahendamisel otsest, millal duaalset simpleksmeetodit?

Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid.

Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused

Sõnastage lineaarne planeerimisülesanne

Tooge näiteid vektorruumidest.

Tehteid kompleksarvudega

Tõestage, et iga ruutmaatriks on esitatav sümmeetrilise ja kaldsümmeetrilise maatriksi summana.

Teist ja kolmandat järku determinandi geomeetriline tõlgendus

Vektorite lineaarne sõltuvus

Vektorruumi baas

Vektorruumi dimensioon (mõõde).

Vektorruumi Verinevad baasid sisaldavad ühepalju elemente. Vektorite arvu vektorruumi baasis nimetatakse tema mõõtmeks e. dimensiooniks.

Vektorruumi alamruum

Vektori korrutis skalaariga

Vektorruumi 8 omadust (postulaati).

1. Kompleksarvu algebraline

a-realarvuline osa,b-imaginaarosa,i-imaginaarühik,r-kompleksarvu moodul, O-kompleksarvu argument, [Algebraline kuju]a+bi=[Trigonomeetriline kuj]r(cosO+isinO)=[Eksponentkuju]r*e^iO

Back

2. Tehteid kompleksarvudega

Liitmine-(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i Lahutamine- (a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=(a-c)+(b-d)i Korrutamine-(a+bi)*(c+di)=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i Jagamine-(a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))=(ac-adi+bci-bdi^2)/(c^2-d^2 i^2 )=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2 )=(ac+bd)/(c^2+d^2 )+(bc+ad)/(c^2+d^2 ) i

Back

3. 3. Imaginaararv. Puhtimaginaararv. Kaaskompleksarv

kui b=/0 nimetatakse kompleksarvu imaginaararvuks kui a=0 nimetatakse kompleksarvu puhtimaginaararvuks Arve a+bi ja-a-bi nimetatakse vastandkompleksarvuks Arve a+bi ja a-bi nimetatakse kaaskompleksarvuks

Back

4. Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused

Skalaarideks nimetatakse suurusi mida saab esitada ühe arvuga N: 32 Vektoriaalne suurus - suurus millel peale arvulise väärtuse on vaja teada tema sihti ja suunda. N: (AB)-> Skalaarideks nimetatakse suurusi., mida saab esitada ühe arvuga -suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse suuruse väärtuste hulgaks võib olla ka kompleksarvude hulk. Suurust, mille kirjeldamiseks on peale arvulise väärtuse vaja teada tema sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks. Vektoreid on otstarbekas kasutada näiteks kiiruse väljendamiseks, jõu väljendamiseks.

Back

5. Geomeetrilised vektorid.

Kindla pikkusega, kindlas sihis paiknev ja kindlas suunas suunatud suurus. Suunatud lõik. (joonista vektor (AB) ->) Geomeetrilise vektori all mõistame kindla pikkusega, kindlas sihis paiknevat ja kindlas suunas suunatud suurust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku.

Back

6. Millistel tingimustel võib nimetada geomeetrilisi vektoreid kollineaarseteks?

Kollineaarsed vektorid – asuvad paralleelsetel sirgetel või ühel ja samal sirgel a||b Komplaarsed vektorid – kui kolm vektorit on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga. Võrdsed vektorid – kui kaks vektorit ?ja ? on kollineaarsed, samasuunalised ja ühepikkused e. (piiramatud)=(Beeta),kui (Alfa)||(Beeta) ja A|^|^ ja ||A||=||B||

Back

7. Kahe vektori summa

Vektorid tuleb ruumis nii ringi paigutada (iseendaga paralleelselt), et nad moodustaksid murdjoone; seejuures tuleb iga järgnev vektor rakendada eelneva vektori lõpp-punktist. Vektorite summaks on vektor mis sulgeb murdjoone.

Back

8. Vektori korrutis skalaariga

Arvu (skalaari) A ja vektori B korrutis peab rahuldama tingimusi: 1)vektor A || B 2)Kui A >=0 siis B suund ühtib ? suunaga vastasel juhul on suund vastupidine vektor B suunale. 3) Vektori A pikkus saadakse vektori B pikkuse ja arvu A absoluutväärtuste korrutamisel ||AB||=|A|*||B||

Back

9. Vektorruumi 8 omadust (postulaati).

Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi: 1)A+B=B+A (liitmise kommutatiivsus); 2)(A+B)+Y=A+(B+Y) iga A,B,Y=-V korral (liitmise assotsiatiivsus); 3) leidub selline vektor 0=-V, et A+0=0+A=A iga A=-V korral(nullvektori olemasolu); 4) iga vektori A=-V jaoks leidub selline vektor B=-V, et A+B=B+A=0(vastandvektori olemasolu); 5) (a+b)?=aA+bA iga a, b=-R ja A=-V korral; 6)a(?+?)=aA+aB iga a AR ja A, B=-V korral; 7)(ab)A=a(bA) iga a, b=-R ja A=-V korral; 8) 1A = A iga A=-V korral.

Back

10. Aritmeetiliste vektorite vektorruum.

n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a^ a2; ... ; an), võetuna kindlas järjekorras. Tähistame: o. = (ai; a2;...; an) Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka tähistatakse R^n ja teda nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks.

Back

11. Kuidas on aritmeetiliste vektorite seas defineeritud kahe vektori summa?

Aritmeetilised vektorid A=(a1;a2;…;an ) ja B=(b1;b2;…;bn) Summa: A+B=(a1+b1;a2+b2;…;an+bn) Skalaari ja aritmeetilise vektori korrutis: cA=(ca1;ca2;…;can) Vektori A vastandvektor: A=(-a1;-a2;…;-an) Nullvektor n-mõõtmelises ruumis: O=(0;0;…;0)

Back

12. Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis.

Aritmeetilised vektorid A=(a1;a2;…;an ) ja B=(b1;b2;…;bn) Skalaarkorrutis: A*B=SUM_n_i(a_i b_i)=a1*b1+a2*b2+..+an*bn

Back

13. Mida nimetatakse maatriksiks?

(mxn) maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. A=||aij|| Arve a_ij nimetatakse maatriksi elementideks.

Back

14. Defineerige ruutmaatriks, tema pea- ja kõrvaldiagonaal

Maatriks A=||aij|| =-R^mxn on n-ndat järku ruutmaatriks, kui tema ridade arv m on võrdne veergude arvuga n. Seejuures öeldakse ka, et arvud a11,a22,ann asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n,a_(2,n-1),a_n1 asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil.

Back

15. Defineerige diagonaalmaatriks

On ruutmaatriks, mille elemendid väljaspool peadiagonaali võrduvad nulliga.

Back

16. Milliseid objekte nimetatakse maatriksi rea- mlliseid veeruvektorites?

Reavektor – koosneb maartriksi mingis ühes reas olevatest elementidest. Veeruvektor – koosneb maatriksi mingis ühes tulbas olevatest elementidest

Back

17. Kuidas on defineeritud kahe maatriksi liitmine? Kuidas maatriksi ja skalaari korrutis?

Liitmine: (mxn) - maatriksite Maatriks A=||a_ij|| ja B=||b_ij|| summaks nimetatakse (mxn) – maatriksit A+B=||c_ij||, kus c_ij=a_ij+b_ij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral. Maatriksi ja skalaari korrutis: (mxn) – maatriksi A=||a_ij|| =-R^mxn korrutiseks skalaariga c =-R nimetatakse maatriksit cA = c * A, kus c_ij=ca_ij kõigi indeksite i ja j võimalike väärtuste korral.

Back

18. Mida nimetatakse nullmaatriksiks? Mida antud maatriksi vastandmaatriksiks?

Nullmaatriks on maatriks, mille kõik elemendid võrduvad 0-ga. Pole oluline kui palju ridasid ja veergusid maatriksis on. Nullmaatriks on maatriksite algebras nullelemendiks. Maatriksi A vastandmaatriks –A. Maatriksi –A elemendid on maatriksi A vastavate elementide vastandelemendid.

Back

. Defineerige kahe maatriksi korrutis. Millisel tingimusel on võimalik kaht maatriksit korrutada?

Back

Loetlege maatrikskorrutise omadused.

Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. üldiselt AB=/BA 2) Maatriksite korutamine on assotsiatiivne, s.t. A(BC)=(AB)C 3) Liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. A(B+C)=AB+AC,(A+B)C = AC+BC 4) Kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB)=(aA)B=A(aB) iga a=-R korral.

Back

Millist maatriksit nimetatakse ühikmaatriksiks.Millise tulemuse saame, kui mingit maatriksit korrutada sobivat järku ühikmaatriksiga?

Lineaaralgebras nimetatakse ühikmaatriksiks n-ndat järku ruutmaatriksit, mille peadiagonaalil paiknevad 1-d ja mujal 0-d.

Back

Millist maatriksit nimetatakse antud maatriksi transponeeritud maatriksiks?

A') maatriksit, mis saadakse A ridade ja veergude vahetamisel. Viimast tehet nimetatakse maatriksi transponeerimiseks.

Back

Loetlege maatriksi transponeerimise reeglid. Tõestage omal valikul üks loetletud omadustest.

1) (A^T)^T = A iga maatriksi A korral; 2) (A + B )^T = AT + BT iga maatriksi A, B korral; 3) (cA)^T = cA^T iga c =- R ja maatriksi A korral; 4) (AB)^T = B^T*A^T iga A =- R^m×n ja B =- R^n× p korral; Tõestus: 1. (A^T)^T_ij = A^T_ji=A_ij 2. (A^T+B^T)_ij=A^T_ij+B^T_ij=A_ji+B_ji=(A+B)_ji=(A+B)^T_ij 3. (cA)^T_ij=cA_ji=cA^T_ij 4. (AB)^T_ij=(AB)_ji=SUM_kj(A_jk*B_ki)=SUM_kj(B^T_ik*A^T_kj)=(B^T*A^T)_ij

Back

Millist maatriksit nimetatakse sümmeetriliseks, millist kaldsümmeetriliseks?

Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A.

Back

Tõestage, et iga ruutmaatriks on esitatav sümmeetrilise ja kaldsümmeetrilise maatriksi summana.

Suvaline ruutmaatriks A on esitatav kujul: A= A/2+A^T/2+A/2-A^T/2 B=A[+[0]]; C=A[+[1]] B^T((A+A^T)/2)^T=((A+A^T)^T)/2=(A^T+A)/2=B C^T=((A-A^T)/2)^T=((A-A^T)^T)/2=(A^T-A)/2=-C

Back

Milliseid operatsioone nimetatakse maatriksi ridade elementaarteisendusteks?

Maatriksi A ridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: 1) maatriksi A mingile reavektorile liidetakse maatriksi A mingi teise rea nullist erineva arvu kordne; 2) maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi nullist erinevaarvuga. Elementaarteisendusi kasutatakse nt võrrandisüsteemi lahendamisel (Gaussi meetod), kasutatakse ka determinandi leidmisel jne

Back

Millist võrrandit nimetatakse lineaarseks?

Lineaarsel võrrandil on ainult üks vastus iga kord. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. Võrrandis 5x + 3y - 2z = -4 on vabaliikmeks arv –4, kordajateks arvud 5, 3 ja –2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z.

Back

Mida nimetatakse lineaarse võrrandi lahendiks?

Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , ? R, mis asendamisel võrrandi vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1*c1 + a2*c2 + ... + an cn = b.

Back

Mida nimetatakse lineaarse võrrandisüsteemi maatriksiks, mida laiendatud maatriksiks?

Lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi maatriksiks. Lisades maatriksi A parempoolsesse serva vabaliikmete veeru, saame süsteemi laiendatud maatriksi.

Back

Milliseid lineaarseid võrrandisüsteeme nimetatakse samaväärseteks?

Kaht lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on ühed ja samad lahendid.

Back

Milliste teisendused (lin. võrrandisüsteemi võrranditega) annavad esialgsega samaväärse võrrandisüsteemi?

Võrrandisüsteemist (3) lõpliku arvu teisendustega 1) ja 2) saadud võrrandisüsteem on samaväärne esialgsega.

Back

Kirjeldage Gaussi meetodi algoritmi lineaarse võrrandisüsteemi lahendamisel

Proovitakse võimalikult palju nulle saada suvalisse ritta.

Back

Defineerige lineaarse võrrandisüsteemi üldlahend, erilahend ja vabad tundmatud

Saadud lahendit nimetatakse üldlahendiks. Fikseerides suvaliste arvude c_j väärtused, saame erilahendid.

Back

Mida nimetatakse n-järku substitutsiooniks?

n-ndat järku substitutsiooniks (permutatsiooniks) nimetatakse n esimese naturaalarvu 1, 2, ... , n iga ümberjärjestust i1, i2, ..., in

Back

Millisel tingimusel moodustavad kaks naturaalarvu inversiooni ?

Back

Loetlege determinantide omadused.

• Maatriksi determinant on võrdne tema transponeeritud maatriksi determinandiga: det (A) = det (AT); • Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub determinant selle arvuga; • Kui determinandis kahe rea (veeru) asukohad vahetada, siis determinandi märk muutub vastupidiseks; • Kui determinandis kaks rida (veergu) on võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. • Kui determinandis mingi rea (veeru) iga element on kahe liidetava summa, siis see determinant lahutub kahe liidetava summaks, kusjuures esimeses determinandis on vaadeldavas reas (veerus) esimesed liidetavad ja teises determinandis selles reas (veerus) • Determinandi väärtus ei muutu, kui kui tema mingi rea arvudele liita mingi arvu kordsed teise rea arvud. • Kui determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga. • Kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid, siis nende maatriksite korrutise AB determinant võrdub maatriksite A ja B determinantide korrutisega: det (AB) = det(A)*det(B).

Back

Kirjeldage võrrandisüsteemi lahendamist determinantide meetodiga.

Kui lineaarses võrrandisüsteemis Ax= b on võrrandite arv n võrdne tundmatute arvuga m, siis lahendamisel determinantide abil tuleb: a. Leida süsteemi maatriksi determinant D= det(A); võrrandisüsteem on üheselt lahenduv, kui D=/0. b. Leida determinandid D1= det(A1), D2= det(A2), ..., Dn= det(An), kus Ai on maatriks, mis on saadud süsteemi kordajate maatriksist Ai-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga b.

Back

44. Defineerige maatriksi miinorid

Maatriksi A k-järku miinoriks nimetatakse k-järku determinanti, mis on leitud maatriksi A suvalisest k reast ja k veerust.

Back

Laplace’i arendusteoreem

Kehtib nn Laplace'i valem: det(A) = SUM(M_k*A_n-k), kusjuures paremal seisev summa tuleb leida üle kõigi k-ndat järku miinorite, mida saab moodustada fikseeritud ridadest i1,i2,...i_k ja A_n-k on maatriksist A miinori M_k moodustamisel kasutatud ridade determinandi korrutis arvuga (-1)^i1+i2+..j1+j2+...+jk. Laplace'i arendusteoreem on üldistuseks determinandi arendamisele rea või veeru järgi.

Back

Mida nimetatakse maatriksi astakuks?

Maatriksi A astakuks nimetatakse suurimat naturaalarvu k, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-järku miinor. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või ka r(A). Kuna maatriksi esimene ja teine rida on lineaarselt sõltuvad (teine rida on esimese kahekordne), siis iga kolmandat järku miinor võrdub nulliga. Teist järku miinoritest on nullist erinev näiteks

Back

48. Millisel tingimusel on lineaarne võrrandisüsteem lahenduv?

Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga.

Back

49. Millistel tingimustel on lineaarsel võrrandisüsteemil ühene lahend?

Lineaarse võrrandisüsteem on üheselt lahenduv parajasti siis, kui 1) võrrandisüsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga ja 2) see astak on võrdne tundmatute arvuga võrrandisüsteemis.

Back

Mida nimetatakse antud maatriksi pöördmaatriksiks?

Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist ruutmaatriksit B, mille korral AB = BA = E. Maatriksil A leidub ülimalt üks pöördmaatriks. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Maatriksi A pöördmaatriksit tähistatakse A^-1: A*A^-1= A^-1A = E.

Back

Millisel tingimusel on võimalik leida maatriksi pöördmaatriks?

Ruutmaatriksil A= ||aij|| ? Rn×n leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga (st kui maatriksi astak rank(A) = n). A^-1=... Sel korral on pöördmaatriks kus Aij on maatriksi A determinandi elemendi aij alamdeterminant (elemendile aij vastav miinor, korrutatud suurusega (-1)i+j).

Back

53. Millist maatriksit nimetatakse regulaarseks, millist singulaarseks?

Ruutmaatriksit nimetatakse regulaarseks, kui tema determinant ei ole null. Vastasel juhul nimetatakse ruutmaatriksit singulaarseks.

Back

55. Tooge näiteid vektorruumidest.

1) geomeetrilised vektorid; 2) aritmeetilised vektorid; 3)m×nmaatriksid 4) Lõigul [a; b] pidevate funktsionide hulk C[a; b] 5) homogeense lineaarse võrrandisüsteemi Ax = 0- lahendite hulk; 6)n-ndat järku polünoomide hulk: f(x) = a0+a1*x+a2*x^2 +...+an*x^n=SUM_ni-0(ai*x^i) 7)nullruum–vektorruum, mis koosneb vaid nullelemendist: V = {0-}.

Back

57. Vektorite lineaarne sõltuvus

Öeldakse, et vektorid a1,...,a_m =- V (m > 1) on lineaarselt sõltumatud, kui ükski neist ei avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m –1 vektorist. Nullist erinevat vektorit nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastasel korral nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltuvateks. Näiteks on lineaarselt sõltuvad suvalised kolm vektorit tasandil või neli vektorit kolmemõõtmelises ruumis.

Back

58. Vektorruumi baas

Mitte tühja hulka nimetatakse vektorruumi V baasiks kui 1)Vektorite hulk B on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk; Igas nullruumist erinevas vektorruumis leidub baas. Vektorruumis leidub lõpmata palju baase. Tavaliselt valitakse neist välja üks, loomulikul viisil tekkiv baas ning seda nimetatakse vektorruumi kanooniliseks e. loomulikuks baasiks.

Back

59. Vektorruumi dimensioon (mõõde).

Vektorruumi Verinevad baasid sisaldavad ühepalju elemente. Vektorite arvu vektorruumi baasis nimetatakse tema mõõtmeks e. dimensiooniks. n-mõõtmelises vektorruumis iga n lineaarselt sõltumatut vektorit moodustavad selle ruumi baasi. Vektorruumis Viga lineaarselt sõltumatute vektorite hulk on täiendatav selle vektorruumi baasiks.

Back

Vektorruumi Verinevad baasid sisaldavad ühepalju elemente. Vektorite arvu vektorruumi baasis nimetatakse tema mõõtmeks e. dimensiooniks.

Back

61. Vektorruumi alamruum

Vektorruumi V mittetühi alamhulk U võib samuti osutuda vektorruumiks. Sellisel juhul öeldakse, et U on vektorruumi V alamruum. --.... veel piilt

Back

66. Millist ruumi nimetatakse normeeritud ruumiks?

Vektorruumi, milles on defineeritud norm, nimetatakse ka normeeritud ruumiks.

Back

Milliseid vektoreid nimetatakse ortogonaalseteks?

Öeldakse, et vektorid x ja y on risti ehk ortogonaalsed, kui (x,y) = 0. Asjaolu, et vektorid on risti tähistatakse x +_ y

Back

69. Kas ortogonaalse vektorite süsteemi vektorid saavad olla lineaarselt sõltuvad?

Ei saa. Ortogonaalse, nullvektorist erinevate vektorite süsteemi vektorid on lineaarselt sõltumatud

Back

70. Millist vektorit nimetatakse ühikvektoriks?

Öeldakse, et vektor x on normeeritud ehk ühikvektor, kui tema pikkus on üks. ||x|| = 1.

Back

71. Millist baasi vektorruumis nimetatakse ortonormeeritud baasiks?

Ortogonaalsete vektorite süsteemi nimetatakse ortonormeeritud süsteemiks, kui selle süsteemi kõik vektorid on normeeritud. Vektorruumi baasi, mis koosneb ortonormeeritud vektoritest, nimetatakse ortonormeeritud baasiks. Igas lõplikumõõtmelises eukleidilises vektorruumis leidub ortonormeeritud baas. Vektornnimi baasi, mis koosneb ortonormeeritud vektoritest, nimetatakse ortonormeeritud baasiks. Näide: baas B={xl,x2,x3,x4), xl,x2,x3,x4 G R4, xl=(l,0,0,0), x2=(l, 1,0,0), x3=(l,1,1,0), x4=(l,1,1,1). Ortonormeeritud baas on Bo={yl,y2,y3,y4), yl,y2,y3,y4 G R4, yl = (l,0,0,0), y2=(0,1,0,0), y3=(0,0,1,0), y4=(0,0,0,1).

Back

74. Defineerige hüpertasand ja tema normaalvektor.

Hüpertasandiks nimetatakse kõigi selliste punktide P(x1, x2, ..., xn) hulka, mille koordinaadid x1,x2,.....,xn rahuldavad lineaarset võrrandit a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b = 0, kus | a1 | + | a2 | + ... + | an | =/ 0.

Back

Defineerige vektori norm

Vektori x € V pikkuseks elik normiks nimetatakse arvu y[juur](x, x). Vektori x normi täiustatakse

Back

Teist ja kolmandat järku determinandi geomeetriline tõlgendus

Teist järku detemiinandi absoluutväärtus on võrdne tema reavektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. Kolmandat järku determinandi absoluutväärtus on võrdne tema reavektoritele ehitatud rööptahuka ruumalga.

Back

Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid.

Olgu sirge määratud punktiga A(ava2 ja sihivektoriga A =(a1-,a2;...-,an). Punkti A ja suvalise sirge punkti S--(sl,s2...,sn) vaheline vektor peab olema paralleelne sirge sihivektoriga .v. Kuna AP-- = (x1 - a1, x2 - a2...xn - an) siis x1 - a1, = ts1, x2-a2=ts2,..., xn - an = tsn, t=-R. millest saame sirge parameetrilised võrrandid. Elimineerides sirge parameetril istest võrranditest parameetri t saame sirge keni oo iiilised võrrandid:[VALEMI PILT]

Back

Mida nimetatakse kujutuseks ühest vektorruumist teise?

Olgu V ja W vektomiumid mõõtmetega n ja m. Kujutuseks ehk operaatoriks f ruumist V ruumi W nimetatakse reeglit, mis vektorruumi V igale elemendile seab vastavusse vektorruumi W mingi elemendi. Kujutust tähistatakse: f: V -> W

Back

Kuidas on defineeritud kujutis ja originaal?

Elementi y =- W, mille kujutus f seab vastavusse elemendile x =- V, nimetatakse elemendi x kujutiseks; elementi x nimetatakse sealjuures elemendi y originaaliks. Kujutise tähis: y=f(x)

Back

Millist lineaarset kujutust nimetatakse ortogonaalteisenduseks?

Lineaarteisendust L : V -> V nimetatakse ortogonaalteisenduseks, kui ta säilitab skalaarkorrutise: (x, y) = (L_x, L_y) iga x,y =- V korral. Ortogonaalteisendus säilitab vektorite pikkused ja vektoritevahelised nurgad.

Back

Kuidas saab ortogonaalmaatrikseid kasutada arvutigraafikas?

Geomeetriliselt tähendab ortogonaalteisendus kahemõõtmelises ruumis koordinaatteljestiku pööramist nurga (fii) võrra. Kolmemõõtmelises ruumis on pööre ümber x-telje väljendatav ortogonaalteisenduse maatriksiga

Back

Geomeetriliselt tähendab ortogonaalteisendus kahemõõtmelises ruumis koordinaatteljestiku pööramist nurga (fii) võrra. Kolmemõõtmelises ruumis on pööre ümber x-telje väljendatav ortogonaalteisenduse maatriksiga

Back

73. Mida nimetatakse maatriksi omaväärtusteks ja omavektoriteks

Vektorit x =- R^n , x =/ nullvektor nimetatakse maatriksi A =- R^x*n omavektoriks, kui Ar = lx mingi le =- R korral. Arvu l nimetatakse sealjuures omavektorile x vastavaks maatriksi A omaväärtuseks.

Back

Lineaarse teisenduse omaväärtused ja omavektorid.

Arv 0 võib olla omaväärtuseks. Kuna lineaarne teisendus L: V---> V on esitatav maatnkskujul v = Ax, siis võime rääkida ka lineaarse teisenduse omavektoritest ja omaväärtustest. Vektor x =- V, x =/ nullvektor on lineaarse teisenduse omavektor parajasti siis, kui L(x) = lx mingi l=-R korral. Arvu / nimetatakse seejuures lineaarse teisenduse omaväärtuseks.

Back

Maatriksi karakteristlik võrrand ja karakteristlik polünoom

Seos Ax = lx on esitatav kujul Ax = lEx <=> (A- lE)x = 0 Saadud võrdus on lineaarne homogeenne võrrandisüsteem, millel on mittetriviaalseid lahendeid (nullvektorist erinevaid lahendeid) vaid siis, kui selle süsteemi maatriks A - lE on singulaarne, st det(A — lE ) = 0. Võrrandit nimetatakse maatriksi A karakteristlikuks võrrandiks ja polünoomi p(l) = det( A - lE ) maatriksi A karakteristlikuks polünoomiks.

Back

Mis on maatriksi spekter?

Maatriksi A kõigi omaväärtuste hulka {(lamba)1, (lamba)2,.. } (siin võib olla võrdseid) nimetatakse maatriksi A spektriks ja tähistatakse (lamba) (A)

Back

Kirjeldage lineaarse diferentsvõrrandi lahendamist

Keegi pani panka 1000 krooni. Kui suur on tema summe kahe aasta pärast, kui panga intressimäär on 1)5% aastas, 2)0,42% kuus? Lahendus: FO-summa suuris panka paneku hetkel, F1-summa suurus pärast esimest aastat, F2-summa teise aasta lõpuks F_(k+i)=(l+0,05)*Fk 1.järku diferentsvõrrand Lahendiks saame: F2=1,05^2*F_0 Teisel juhul FO-summa suurus panka paneku hetkel, F1-summa suuris pärast esimest kuud, F2-summa teise kuu lõpuks, F24- summa 24 kuu lõpuks Diferentsvõrrand: F_(k+i)=(1+0,0042)*Fk (k=0;23) Lahend: F24=1,0042^24*F_0

Back

Diskreetne Markovi protsess, stohhastiline maatriks ja Markovi ahel

DiferentsvÕrrandit u_(i+1) - A_uj nimetatakse diskreetset Markovi protsessi kirjeldavaks, kui maatriksi A elemendid rahuldavad tingimusi: 1) a_ij > 0 ; 2) SUM_i1n(a_ij)= 1, j = 1...n Definitsioonis toodud tingimusi rahuldavat maatriksit nim stohhastiliseks maatriksiks. Markovi protsessis sündivat aegrida (nt selge, selge, vihmane, pilves, pilves,..) nim Markovi ahelaks.

Back

Milles seisneb Cauchy ülesanne lineaarse diferentsiaalvõrrandite süsteemi korral

Diferentsiaalvõrrandite süsteem koos algtingimustega moodustab Cauchy ülesande.

Back

Kirjeldage lineaarse diferentsiaalvõrrandisüsteemi Cauchy ülesande lahendamist maatriksi omaväärtusete ja -vektorite abil.

Kõigepealt tuleb kirja panna DVS maatriksi A ja algväärtused x0(maatrikskujul). Siis tuleb leida süsteemi maatriksi omaväärtused ja seejärel omavektorid yl ja y2 ning omavektoriteks tuleb moodustada uus maatriks S, mis koosneb omavektoritest. Siis tuleb leida maatriksi S pöördmaatriks. Välja tuleb arvutada vektor c=S^-1*x0

Back

Sõnastage lineaarne planeerimisülesanne

Lineaarne planeerimisülesanne on selline matemaatilise planeerimise ülesanne, milles nii kitsendusi määravad funktsioonid kui ka optimiseeritav funktsioon (sihifunktsioon) on lineaarsed.

Back

Mida nimetatakse lineaarse planeerimise ülesandes sihifunktsiooniks?

Minimiseeritavat või maksimiseeritavat funktsiooni nim sihifunktsiooniks. Muutujate X1, x2, x3... xn väärtuste komplekti, mis rahuldab kõiki kitsendusi, nimetatakse lubatavaks lahendiks. Lubatav lahend, mille korrab realiseerub sihifunktsiooni miinimum või maksimum, nimetatakse optimaalseks lahendiks. Lineaarse planeerimise ülesandes nimetatakse nii lineaarseid võrrandeid kui võrratusi lineaarseteks kitsendusteks.

Back

Millal saab kasutada lineaarse planeerimisülesande lahendamisel otsest, millal duaalset simpleksmeetodit?

Ülesandele vastavat simplekstabelit nimetatakse lubatavaks, kui vabaliige b_i>=0 ning duaalselt lubatavaks, kui kordajad -c_j>=0. Erinevalt harilikust simpleksmeetodist tuleb duaalse simpleksmeetodi korral valida simplekstabelist esmalt välja juhtrida, ja seejärel juhtveerg ning viia siis läbi tabeli ridade teisendus.

Back